Tema 4

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Tema 4:
Parte 1

 
En la primera parte del tema 4 se estudia el concepto de intervalo o conjunto de números reales entre dos extremos, distinguiendo entre intervalo abierto que no contiene los extremos e intervalo cerrado que sí los contiene. También se introduce el concepto de extremo infinito (8) y menos infinito (-8) junto con los operadores relacionales menor que (<) , menor o igual que (=), mayor (>) y mayor o igual que (=). Finalmente se muestran ejemplos de intervalos semiabiertos o semicerrados, esto es, que contienen sólo uno de los dos extremos. 0.00       Ejercicio 4.1
6.00       Ejercicio 4.2
10.20     Ejercicio 4.3




Tema 4:
Parte 2

 
En este vídeo se introduce el concepto de función de números reales y su relación con el concepto de aplicación. Se define el intervalo de definición de una función como un conjunto de puntos donde la función existe. En las funciones que son un cociente como f(x)=1/x, si el denominador se hace cero la función no existe y ese valor que hace cero al denominador no estaré en su intervalo de definición. En las funciones que tienen una raíz cuadrada, los valores que hacen que el radicando sea negativo tampoco estarán en el intervalo de definición de la función. 0.00       Ejercicio 4.4 Definición de función
9.30       Ejercicio 4.5
17.45     Ejercicio 4.6
 



Tema 4:
Parte 3

 
Diremos que un punto (a,b) pertenece a la gráfica de una función si f(a)=b.  La gráfica de una función f se obtiene entonces uniendo los puntos (a,b) por los que pasa la función, esto es f(a) = b para todo punto a. Para resolver los problemas de si un punto está sobre una gráfica, por encima o por debajo, no es necesario hallar la gráfica de la función (aunque puede ayudar), basta con saber aplicar la regla que se da en el minuto 14. 0.00       Ejercicio 4.7
9.00       Ejercicios 4.11 y 4.12
14.10     Regla general
 


Tema 4:
Parte 4

 
Se estudia el concepto de función creciente y decreciente en un intervalo. Diremos que una función f es creciente si dados a<b se cumple f(a)<=f(b). Por el contrario, f será decreciente si dados a<b, entonces f(a)>=f(b). Es decir, una función creciente "mantiene" el orden de la desigualdad y una decreciente la cambia. 0.00       Explicación de función creciente y decreciente
9.35       Ejercicio 4.16
13.24     Ejercicio 4.17
17.00     Ejercicio 4.18
18.00     Ejercicio 4.19
21.50     Ejercicio 4.20
23.00     Ejercicio 4.21
 


Tema 4:
Parte 5

 
Se estudia el concepto de límite de una función como la aproximación al valor de la función cuando la variable tiende al límite que se propone. En primer lugar se estudia el concepto con la función f(x)=1/x que se ha estudiado el vídeo anterior (funciones crecientes y decrecientes). En esta función se puede observar gráficamente que cuando x tiende a cero por valores positivos tiende a infinito y cuando tiende a cero por valores negativos tiende a menos infinito. Los problemas de límites se dividen en tres posibilidades: 1) Que la función en el punto límite esté definida (problemas 4.22 y 4.23). 2) Que la función no esté definida porque sea un cociente de numerador distinto de cero y denominador igual a cero. En ese caso, el límite puede ser infinito (4.25) o no existir (4.28). 3) Al sustituir el punto límite en la función nos dé cero dividido por cero (4.26 y 4.27) o infinito menos infinito (4.24). En estos casos la función se debe simplificar antes de calcular el valor en el límite.  0.00       Concepto de límite
3.05       Ejercicio 4.22 y 4.23
5.50       Ejercicio 4.25
15.30     Ejercicio 4.26
19.35     Ejercicio 4.27




Tema 4:
Parte 5 (bis)

 
Este vídeo es la grabación del curso anterior (2010-11). Su contenido es muy similar al de este curso, aunque algunos problemas son distintos o se resuelven de otra manera. Al final se da un resumen sobre todo el tema de límites. 0.00     Ejercicio 4.22 y 4.23
1.30     Ejercicio 4.25 y 4.28
11.40   Ejercicio 4.26
15.40   Ejercicio 4.27
18.00   Ejercicio 4.24
19.45   Resumen



Tema 4:
Parte 6

 
Se estudia el concepto de continuidad de una función. Una función es continua en un punto a si el valor de f(a) coincide con el limite cuando x tiende a de f(x). Por tanto, las funciones polinómicas o los cocientes donde el denominador no se haga cero no presentan problemas de continuidad. Solamente aquellas funciones que sean cocientes y su denominador se haga cero pueden presentar problemas de continuidad. Dentro de este tipo de funciones hay que distinguir las que se pueden simplificar y por tanto su límite es finito y que pueden ser continuas si el valor de la función en el punto conflictivo coincide con el límite en ese punto. Por el contrario, las funciones que en un punto tienen límite infinito o no tienen límite son discontinuas en ese punto. Por otra parte, están las funciones definidas a trozos, que para ser continuas deben coincidir los límites por la izquierda y por la derecha con el valor de la función en el punto de ruptura. 0.00       Definición. Ejercicios 4.31 y 4.32
3.15       Ejercicio 4.33
4.25       Ejercicio 4.34
7.00       Ejercicio 4.36
9.00       Ejercicio 4.37
10.30     Ejercicio 4.35
11.55     Resumen continuidad
18.25     Ejercicio 4.40
23.20     Ejercicio 4.39
24.10     Resumen límites y continuidad



Tema 4:
Parte 7

 
Primer video de los tres dedicados a aprender a calcular la derivada de una función. En éste se explican las cinco reglas que nos permitirán calcular la mayoría de los ejercicios de derivadas que están en el libro. Faltan las reglas para obtener las derivadas del producto y el cociente de funciones que son más complicadas y que no suelen preguntarse en los exámenes. 0.00       Reglas de derivación
4.30       Ejercicio 4. 43
5.13       Ejercicio 4.44


Tema 4:
Parte 8

 
Aplicación de las reglas de derivación del vídeo anterior a distintos ejercicios. Destacar que la derivada de la raíz cuadrada de x o de la función 1/x son casos particulares de una potencia de x, con exponente 1/2 en el caso de la raíz cuadrada y -1 en el caso de la función inversa. Esto se puede generalizar al caso de la raíz cuadrada de una función que no es más que la potencia 1/2 de esa función. 0.00     Ejercicio 4.45
4.20     Ejercicio 4.46
8.30     Ejercicio 4.47
10.30    Ejercicio 4.49

Tema 4:
Parte 9

 
En este vídeo se siguen calculando algunos ejercicios de derivadas más complejas que en vídeos precedentes. Se introduce el concepto de f'(a)derivada de una función f(x) en un punto a o sustitución del valor de a en f'(x). Se aplica el concepto de derivada al cálculo de la velocidad de un móvil conociendo su trayectoria, ya que la velocidad no es más que la derivada con respecto  al tiempo. Finalmente se explica la interpretación gráfica de la derivada de una función en el punto a como la pendiente de la recta tangente a esa función en a. 0.00       Ejercicio 4.50
1.40       Ejercicio 4.52
2.35       Resumen de derivadas
4.10       Ejercicio 4.53 Derivada en un punto
5.00       Ejercicio 4.59
10.35     Ejercicio 4.62 Velocidad de un móvil
13.40     Ejercicio 4.63
14.40     Ejercicio 4.66 Tangente a una curva 

Tema 4:
Parte 10

 
Una de las aplicaciones de las derivadas es que sirven para calcular la recta tangente a una curva en un punto, ya que la derivada en un punto coincide con al pendiente de la recta tangente en ese punto. Por tanto, en x=a, el punto de tangencia es (a,f(a)) y la pendiente de la recta es f´(a). Conociendo un punto y la pendiente mediante la ecuación punto pendiente se puede calcular la recta tangente a la curva de una función en un punto. 0.00     Ejercicio 4.66
4.30     Ejercicio 4.75
9.20     Ejercicio 4.69
 

Tema 4:
Parte 11

 
En este vídeo se explican los últimos conceptos del tema 4. La derivada de una función nos puede servir para saber si la función es creciente o decreciente ya que en una función creciente las rectas tangentes son también crecientes de izquierda a derecha, esto es, tienen pendiente positiva. Por el contrario, las funciones decrecientes tienen rectas tangentes de pendiente negativa. Teniendo en cuenta la relación de igualdad entre pendiente de la recta tangente y la derivada en el punto, se concluye que una función es creciente en un punto si su derivada es positiva y decreciente si es negativa. Si la derivada en un punto es cero significa que es un máximo o un mínimo en función de la derivada segunda. Finalmente, se dan alguna idea sobre los conceptos de concavidad y convexidad y las fórmulas para calcular la derivada de un producto o un cociente, aunque pensamos que son ejercicios de una dificultad mayor a la habitual de los exámenes. 0.00     Ejercicio 4.87 Derivada segunda
2.30     Ejercicio 4.83
10.15   Ejercicio 4.84
12.10   Ejercicio 4.91
21.25   Ejercicio 4.92
23.55   Ejercicio 4.98 Concavidad y convexidad
25.00  Ejercicio 4.51
27.40   Reglas para el producto y el cocientes
 
Tema 4:
Parte 12

 
En este vídeo se resuelven algunos problemas del tema 4 no resueltos en los vídeos anteriores. En general, son de una mayor dificultad y pensamos que será poco probable que se pongan en el examen. En cualquier caso, sirven para afianzar los conceptos aprendidos en el tema. 0.00       Ejercicio 4.68
2.50       Función creciente y decreciente
5.00      Ejercicio 4.82
10.00     Ejercicio 4.86
11.10     Ejercicio 4.89
14.00     Máximo y mínimo
15.10     Ejercicio 4.93
19.50    Ejercicio 4.96
21.20    Concavidad y convexidad
24.20    Ejercicio 4.98
29.40     Recta perpendicular a una curva

Tema 4:
Resolución Prueba 2010/11
Resolución de la Prueba de Evaluación a Distancia del curso 2010-11 con algunos ejercicios del Tema 4 que sirven de repaso.

Tema 4:
Resolución Prueba 2011/12
Resolución de la Prueba de Evaluación a Distancia del curso 2011-12 con algunos ejercicios del Tema 4 que sirven de repaso.

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